Ensimmäisen asteen yhtälö laskuri

Ensimmäisen asteen yhtälö laskurin avulla pystyt laskemaan vaikeammatkin ensimmäisen asteen yhtälöt, yhtälöparit ja yhtälöryhmät helposti ja nopeasti. 

Ensimäisen asteen yhtälön laskuri

x =

Ratkaisu:

Yhtälöparin laskuri

x + y =
x + y =

Ratkaisu:

Yhtälöryhmän laskuri

x + y + z =
x + y + z =
x + y + z =

Ratkaisu:

Ensimmäisen asteen yhtälö

Ensimmäisen asteen yhtälö on yksinkertainen matemaattinen yhtälö. 

  1. Määritelmä: Ensimmäisen asteen yhtälö on yhtälö, joka voidaan esittää muodossa
    , missä
    ja
    ovat reaalilukuja ja
    . Tässä
    on yhtälön tuntematon.

  2. Graafinen esitys: Graafisesti ensimmäisen asteen yhtälö esitetään suorana linjana koordinaatistossa.

  3. Ratkaisu: Yhtälön
    ratkaisu on
    . Tämä antaa arvon
    , jolla yhtälö toteutuu.
  4. Erityispiirteet:
    1. Kertoimen
      arvo määrittelee suoran kulmakerroin. Kulmakerroin kuvaa, kuinka paljon muuttuu, kun
      muuttuu yhdellä yksiköllä.
    2. Vakion
      arvo on suoran leikkauspiste y-akselin kanssa.
  5. Muunnokset: Yhtälö voidaan esittää myös muodossa
    , missä
    on kulmakerroin ja on y-akselin leikkauspiste.
  6. Yhtälön ominaisuudet:
    1. Yhtälöllä on aina yksi ja vain yksi ratkaisu.
    2. Yhtälön suora on aina nouseva tai laskeva (ei koskaan vaakasuora tai pystysuora) koordinaatistossa.

Ensimmäisen asteen yhtälöpari

  • Mikä se on? Se koostuu kahdesta yhtälöstä, joissa on yleensä tuntemattomat x ja y.
  • Graafinen esitys: Kaksi suoraa koordinaatistossa. Niiden leikkauspiste on ratkaisu.
  • Ratkaisut?
    • Yksi: Suorat leikkaavat toisensa.
    • Ei yhtään: Suorat ovat yhdensuuntaisia.
    • Monta: Suorat ovat samat.
  • Ratkaisumenetelmiä?
    • Eliminointi: Poistetaan toinen tuntematon.
    • Korvaus: Ratkaistaan toinen, korvataan toisessa.
    • Graafinen: Piirretään ja tarkastellaan.

Yhtälöryhmä

  1. Määritelmä: Yhtälöryhmä on kaksi tai useampi yhtälö, joita ratkaistaan samanaikaisesti.
  2. Tyypit:
    • Lineaariset yhtälöryhmät: Kaikki yhtälöryhmän yhtälöt ovat ensimmäisen asteen yhtälöitä.
    • Epälineaariset yhtälöryhmät: Yhtälöryhmässä on vähintään yksi epälineaarinen yhtälö.
  3. Yhtälöiden ja tuntemattomien määrä:
    • Yhtälöryhmä voi olla ylimääräinen (liian monta yhtälöä), alimääräinen (liian vähän yhtälöitä) tai sopiva (oikea määrä yhtälöitä tuntemattomien määrään nähden).
  4. Ratkaisun olemassaolo ja yksikäsitteisyys:
    • Yhtälöryhmällä voi olla yksi ratkaisu, ei ratkaisua lainkaan, tai rajattomasti ratkaisuja.
    • Jos lineaarisella yhtälöryhmällä on yhtä monta yhtälöä kuin tuntematonta, ja determinantti (jos se on matriisimuodossa) ei ole nolla, silloin yhtälöryhmällä on yksikäsitteinen ratkaisu.
  5. Ratkaisumenetelmiä:
    • Eliminointimenetelmä: Yksi tuntematon eliminoidaan yhtälöistä kerrallaan.
    • Korvausmenetelmä: Yksi yhtälö ratkaistaan yhden tuntemattoman suhteen, ja tämä ratkaisu korvataan toiseen yhtälöön.
    • Matriisimenetelmä: Käyttäen matriisialgebraa (esim. Gaussin eliminaatio tai Cramerin sääntö) yhtälöryhmän ratkaisu voidaan löytää.
    • Graafinen menetelmä: Yhtälöt piirretään koordinaatistoon, ja niiden leikkauspisteet ovat ratkaisuja. (Tämä on käytännöllinen vain pienille yhtälöryhmille.)