Ensimmäisen asteen yhtälö laskuri
Ensimmäisen asteen yhtälö laskurin avulla pystyt laskemaan vaikeammatkin ensimmäisen asteen yhtälöt, yhtälöparit ja yhtälöryhmät helposti ja nopeasti.
Ensimäisen asteen yhtälön laskuri
x =
Ratkaisu:
Yhtälöparin laskuri
x +
y =
x +
y =
Ratkaisu:
Yhtälöryhmän laskuri
x +
y +
z =
x +
y +
z =
x +
y +
z =
Ratkaisu:
Ensimmäisen asteen yhtälö
Ensimmäisen asteen yhtälö on yksinkertainen matemaattinen yhtälö.
Määritelmä: Ensimmäisen asteen yhtälö on yhtälö, joka voidaan esittää muodossa ax+b=0, missä a ja b ovat reaalilukuja ja a=0. Tässä x on yhtälön tuntematon.
Graafinen esitys: Graafisesti ensimmäisen asteen yhtälö esitetään suorana linjana koordinaatistossa.
- Ratkaisu: Yhtälön ax+b=0 ratkaisu on x=−b/a. Tämä antaa arvon x, jolla yhtälö toteutuu.
- Erityispiirteet:
- Kertoimen a arvo määrittelee suoran kulmakerroin. Kulmakerroin kuvaa, kuinka paljon y muuttuu, kun x muuttuu yhdellä yksiköllä.
- Vakion b arvo on suoran leikkauspiste y-akselin kanssa.
- Muunnokset: Yhtälö voidaan esittää myös muodossa y=mx+c, missä m on kulmakerroin ja c on y-akselin leikkauspiste.
- Yhtälön ominaisuudet:
- Yhtälöllä on aina yksi ja vain yksi ratkaisu.
- Yhtälön suora on aina nouseva tai laskeva (ei koskaan vaakasuora tai pystysuora) koordinaatistossa.
Ensimmäisen asteen yhtälöpari
- Mikä se on? Se koostuu kahdesta yhtälöstä, joissa on yleensä tuntemattomat x ja y.
- Graafinen esitys: Kaksi suoraa koordinaatistossa. Niiden leikkauspiste on ratkaisu.
- Ratkaisut?
- Yksi: Suorat leikkaavat toisensa.
- Ei yhtään: Suorat ovat yhdensuuntaisia.
- Monta: Suorat ovat samat.
- Ratkaisumenetelmiä?
- Eliminointi: Poistetaan toinen tuntematon.
- Korvaus: Ratkaistaan toinen, korvataan toisessa.
- Graafinen: Piirretään ja tarkastellaan.
Yhtälöryhmä
- Määritelmä: Yhtälöryhmä on kaksi tai useampi yhtälö, joita ratkaistaan samanaikaisesti.
- Tyypit:
- Lineaariset yhtälöryhmät: Kaikki yhtälöryhmän yhtälöt ovat ensimmäisen asteen yhtälöitä.
- Epälineaariset yhtälöryhmät: Yhtälöryhmässä on vähintään yksi epälineaarinen yhtälö.
- Yhtälöiden ja tuntemattomien määrä:
- Yhtälöryhmä voi olla ylimääräinen (liian monta yhtälöä), alimääräinen (liian vähän yhtälöitä) tai sopiva (oikea määrä yhtälöitä tuntemattomien määrään nähden).
- Ratkaisun olemassaolo ja yksikäsitteisyys:
- Yhtälöryhmällä voi olla yksi ratkaisu, ei ratkaisua lainkaan, tai rajattomasti ratkaisuja.
- Jos lineaarisella yhtälöryhmällä on yhtä monta yhtälöä kuin tuntematonta, ja determinantti (jos se on matriisimuodossa) ei ole nolla, silloin yhtälöryhmällä on yksikäsitteinen ratkaisu.
- Ratkaisumenetelmiä:
- Eliminointimenetelmä: Yksi tuntematon eliminoidaan yhtälöistä kerrallaan.
- Korvausmenetelmä: Yksi yhtälö ratkaistaan yhden tuntemattoman suhteen, ja tämä ratkaisu korvataan toiseen yhtälöön.
- Matriisimenetelmä: Käyttäen matriisialgebraa (esim. Gaussin eliminaatio tai Cramerin sääntö) yhtälöryhmän ratkaisu voidaan löytää.
- Graafinen menetelmä: Yhtälöt piirretään koordinaatistoon, ja niiden leikkauspisteet ovat ratkaisuja. (Tämä on käytännöllinen vain pienille yhtälöryhmille.)